Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；

（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）或

（Ⅱ）①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．

（Ⅲ）见解析

【解析】(I)当时，g(x)=f(x)-k有一个零点，实质是y=f(x)与直线y=k有一个公共点，所以利用导数研究y=f(x)的单调性，极值，最值，作出图像可求出k的取值范围.

(II)当a=2时，令,然后利用导数研究其单调区间及最值，然后再分类讨论f(x)与1的大小关系.

(III)解本小题的关键是根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，从而得,问题得解.

【解析】
（Ⅰ）当时，，定义域是，

， 令，得或．  …2分

当或时，，当时，，

函数在、上单调递增，在上单调递减．  ……………4分

的极大值是，极小值是．

当时，； 当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分

（Ⅱ）当时，，定义域为．

令，

，     在上是增函数． ………7分

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．……………9分

（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，   

． ……………12分

， ．  ……………14分

（法二）当时，．

，，即时命题成立．…………………10分

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．……………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立．……………………14分

（法三）如图，根据定积分的定义，

得．……11分

，

．……………………12分

，

又，，

．

．………………14分