Question

（本题满分13分）

为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为： ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品.

(Ⅰ)当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？  

（Ⅱ） 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.

Answer

(Ⅰ) 元；（Ⅱ）吨

【解析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；

（2）确定处理每吨二氧化碳的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．

【解析】
（Ⅰ）当时，设该工厂获利为，则

    ……（2分）

所以当时，因此，该工厂不会获利

所以国家至少需要补贴元，才能使工厂不亏损    ……（4分）

（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

                ……（6分）

①当时，所以，

因为，所以当时，为减函数，当时

，为增函数，所以当时， 取得最小值

                        ……（9分）

②当时，

 当且仅当即时，取最小值   ……（12分）

因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少      ……  （13分）