Question

如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.

(1)求证：；

(2)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.

Answer

(1)见解析 (2) 见解析

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．

（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；

（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；

证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB= AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．

 (I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分

又已知，所以平面OCE. …………４分

所以，即OE是BD的垂直平分线，

所以.…………６分

(II)取AB中点N，连接，

∵M是AE的中点，∴∥，…………８分

∵△是等边三角形，∴.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，

所以ND∥BC，…………1０分

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分