Question

（本小题满分14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10海里的位置C.

（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由

Answer

（I）海里/小时；（2）船会进入警戒水域

【解析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=,求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．

（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE-AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．

解:如图，AB=40，AC=10，

                ………2分

由于,所以cos=   ………4分

由余弦定理得BC=……6分

所以船的行驶速度为（海里/小时）    ………7分

（II）解法一   如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,

BC与x轴的交点为D.

由题设有，x1=y1= AB=40,      ………8分

x2=ACcos,

y2=ACsin         ………10分

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.        ………11分

又点E（0，-55）到直线l的距离d=              ………13分

所以船会进入警戒水域.               ………14分

解法二:  如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

从而

在中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt中，PE=QE·sin

=所以船会进入警戒水域.