Question

设二次函数，对任意实数，恒成立；正数数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；

（3）若已知，求证：数列是等比数列

Answer

【解析】
（1）其值域为.…………4分

（2）【解析】
当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：

设，则，所以对一切，均有；………6分

，

从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.………8分

注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.

另【解析】
若数列在某个区间上是递增数列，则

即……6分

又当时，，所以对一切，均有且，所以数列在区间上是递增数列.

（3）证明略

【解析】本试题主要是考查了函数的解析式和值域以及函数单调性的运用，以及等比数列的定义的综合问题。

（1）由恒成立等价于恒成立转化为判别式的不等式得到参数k的值，进而求解。

（2）利用数列的单调性的定义，若数列在某个区间上是递增数列，则

即

（3）由（2）知，从而，即得到数列的递推关系，进而求解得到。