Question

设a＜1，集合，，.

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数在D内的极值点．

Answer

（1）i)当00的解集，从而可确定D.

(2)先求出f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a),然后再根据(1)中a在不同取值下对应的D，确定f(x)的极值.

【解析】
（1）x∈D⇔x>0且2x2－3(1＋a)x＋6a>0.

令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，Δ．

①当0，所以B＝R.于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．

②当a＝时，Δ＝0，此时方程h(x)＝0有唯一解，x1＝x2＝＝＝1，

所以B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．

③当a<时，Δ>0，此时方程h(x)＝0有两个不同的解x1＝，x2＝.

因为x10，所以B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．

又因为x1>0⇔a>0，所以

i)当0a且x1<<1，

x2＝＝>＝1，

所以a∈D,1∉D.

由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点．

④当a≤0时，D＝(x2，＋∞)且x2>1.

由表可得，f(x)在D内单调递增．因此f(x)在D内没有极值点．