Question

．已知函数f ( x ) = 3^x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =· 3^ax – 4^x的定义域为[0，1].

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若函数g ( x )在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）a = log32 ；（Ⅱ）2

【解析】（1）由f（a+2）=18列出关于a的方程，利用对数函数的性质求出a；

（2）把a的值代入g（x）的解析式，设0≤x1＜x2≤1，由减函数的定义知g（x2）-g（x1）＜0在[0，1]上恒成立，用分析法和指数函数的性质求出λ的范围.

【解析】
（Ⅰ）由已知得   3a+2 = 183a = 2a = log32 …………… 3分

（Ⅱ）此时  g ( x ) =· 2x – 4x       ……………………………… 6分

设0x1＜x21，因为g ( x )在区间[0，1]上是单调减函数

所以    g ( x1 ) = g ( x2 ) =0成立 … 10分

即  +恒成立      由于+＞20 + 20 = 2

所以    实数的取值范围是2 ……………………………… 12分

解法二：（Ⅰ）由已知得   3a+2 = 183a = 2a = log32 …………… 3分

（Ⅱ）此时  g ( x ) =· 2x – 4x       ……………………………… 6分

因为g ( x )在区间[0，1]上是单调减函数

所以有  g ( x )′=ln2 · 2x – ln 4 · 4x = ln 2[2 · (2x)2 + · 2x ] 0成立…10分

设2x = u∈[ 1 , 2 ]     ## 式成立等价于 – 2u2 +u0 恒成立.

因为u∈[ 1 , 2 ]    只须    2u 恒成立，………………………… 12分

所以实数的取值范围是2