Question

已知偶函数满足：当时，，

当时，

(1) 求当时，的表达式；

(2) 试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，

且这4个零点从小到大依次构成等差数列.

Answer

(1)  (2)见解析

【解析】(1)因为f(x)为偶函数，只需用-x代替中的x即可得到当时，的表达式;

(2) 零点，与交点有4个且均匀分布.所以,然后再分或或或四种情况讨论求出m的值．【解析】
（1）设则，

又偶函数 

所以，      ………………………3分

（2）零点，与交点有4个且均匀分布

（Ⅰ）时，    得，

所以时，              …………………………5分

（Ⅱ）且时 ，   ，     

所以 时，……………………………7分

（Ⅲ）时m=1时    符合题意………………… ……8分

（IV） 时，，,m

此时所以 （舍）

且时，时存在   ………10分

综上：  ①时，  

②时，

③时，符合题意       ………12分