Question

 已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间和最小值；

（Ⅱ）若函数在上是最小值为，求的值；

（Ⅲ）当（其中=2.718 28…是自然对数的底数）.

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】(I)求导，利用导数大（小）于零，求其单调增（减）区间即可.然后再研究出极值和最值.

（II）再分当和两种情况研究其单调性确定其最小值，根据最小值为建立关于a的方程，求出a的值.

(III)解本小题的关键是由（I）可知当时，有，

即.从而可得.

【解析】
（Ⅰ）

同理，令

∴f(x)单调递增区间为，单调递减区间为.

由此可知 

（Ⅱ）

当时，，F（x）在上单调递增，，

，舍去 

当时，在单调递减，在单调递增

若，F（x）在上单调递增，，

舍  

若，在单调递减，在单调递增，

，

若，F（x）在上单调递减，

舍

综上所述：

（Ⅲ）由（I）可知当时，有，

即.

.