Question

（本小题满分15分）已知函数

（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，求在上的最大值和最小值；

（3）当时，求证对任意大于1的正整数，恒成立.

Answer

（1）；（2）

（3）

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）因为函数在给定区间x>1上单调递增，则说明导函数恒大于等于零，然后分离参数求解取值范围。

（2）把a=1,代入关系式中，求解导数，研究单调性，进而得到极值和端点值的函数值，然后比较大小得到最值。

（3）由（1）可知f(x)>f(1)恒成立，那么可知不等式关系式，然后结合放缩法得到结论。

【解析】
（1）由已知得，

依题意得对任意恒成立，

即对任意恒成立，

而

（2）当时，，令，得，

若时，，若时，，

故是函数在区间上的唯一的极小值，也是最小值，即，

而，

由于，则

（3）当时，由（1）知在上为增函数

当，令，则，所以

即

所以

各式相加得