Question

（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，与平面所成角的正切值依次是和，，依次是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为. 

【解析】本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。

（1）第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直，然后利用判定定理得到。

（2）第二问先根据线面角的定义，作出线面角，然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。

【解析】
（1）∵与平面所成角的正切值依次

是和,∴

∵平面,底面是矩形

∴平面   ∴

∵是的中点    ∴

∴         …………………………7分

（2）解法一：∵平面，∴，又,

∴平面，取中点，中点，联结，

则且，是平行四边形，

∴即为直线与平面所成的角.  在中，， ，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为. 

解法二：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，，则各点坐标分别是

，，，，

，∴，，,

又∵平面，

∴平面的法向量为，

设直线与平面所成的角为，则

,         

∴直线与平面所成角的正弦值为.    …………………………15分

【解析】
（1）∵与平面所成角的正切值依次

是和,∴

∵平面,底面是矩形

∴平面   ∴

∵是的中点    ∴

∴         …………………………7分

（2）解法一：∵平面，∴，又,

∴平面，取中点，中点，联结，

则且，是平行四边形，

∴即为直线与平面所成的角.  在中，， ，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为. 

解法二：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，，则各点坐标分别是

，，，，

，∴，，,

又∵平面，

∴平面的法向量为，

设直线与平面所成的角为，则

,         

∴直线与平面所成角的正弦值为.    …………………………15分