Question

（本题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，

，，

 （Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；

 （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（I）见解析；（Ⅱ）.

【解析】本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。

（1）第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直，然后利用判定定理得到。

（2）第二问先根据线面角的定义，作出线面角，然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。

 （I）平面平面；    …………………1分

证明：由题意得且 

 又，则     …………………………3分

 则平面,                   ………………5分

 故平面平面              ………………7分

（Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立

空间直角坐标系如右图示，则,, 可得,  9分

平面ABCD的单位法向量为，           ……………………………………11分

设直线PC与平面ABCD所成角为，则  13分

则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分

解法2：

由（I）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB,                                 …………………………9分

在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，

则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，               …………………………11分

在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,

又

∴ …………………………13分

在Rt△PEC中.………………14分