Question

（本题满分15分）已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足

（为坐标原点）。当 时，求实数的值．

Answer

（Ⅰ）故椭圆的方程为．（Ⅱ）   。

【解析】本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的难度，解题时要注意的灵活运用．

（1）由题设条件可知 a-c的值，然后利用以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，得到椭圆C的标准方程．

（2）设出直线方程与椭圆联立方程组，结合韦达定理和向量的关系式，得到参数k与t的关系式，进而得到结论。

【解析】
（Ⅰ）由题意知；        ………………2分

又因为，所以，．          ………………4分

故椭圆的方程为．              ………………5分

（Ⅱ）设直线的方程为，，，，

由得．           ……………………7分

，．                 ……………………9分

，．又由，得，

                                   ……………………11分

可得．                                            ……………………12分

又由，得，则，．               ……………………13分

故，即．   ……………………14分

得，，即                                ……………………15分