Question

（本题满分15分）已知函数（）

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，设，若存在,，使，

 求实数的取值范围。为自然对数的底数，

Answer

（Ⅰ）当时，的减区间为，增区间为（。

当时，的减区间为。

当时，的减区间为，

增区间为。

（Ⅱ）。

【解析】本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．

（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对k的大小进行分类讨论，进而确定函数的单调性．

（Ⅱ）根据函数的增减区间确定函数的最大值，从而解出a取值范围．

【解析】
（Ⅰ），。  ………………1分

令

 当时，,的减区间为，增区间为（。……2分

‚ 当时，

所以当时，在区间上单调递减。 ………………4分

当时，，

，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

当时，单调递减，                 ……………………7分

所以当时，的减区间为，增区间为（。

当时，的减区间为。

当时，的减区间为，

增区间为。        ……………………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为， ………10分

令，得

时，，单调递减，

时，，单调递增，                 ……………………12分

所以在上的最小值为，       ……………………13分

由题意可知，解得            ………………14分

所以                  ……………15分