Question

（本题满分15分）

已知函数f (x )=ax ³ + x² + 2  ( a ≠ 0 ) ．

(Ⅰ) 试讨论函数f (x )的单调性；

(Ⅱ) 若a>0，求函数f (x ) 在［1，2］上的最大值．

Answer

【解析】
(1) ①当a>0时， f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.

②当a<0时， f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函数，在(,0)上是减函数.

 (2)当0<<1时，f(x)的最大值为３－,

当1≤≤2时，f(x)的最大值为,

当>2时，f(x)的最大值为. 

【解析】本试题主要是考查了函数单调性和函数最值的求解的综合运用。

（1）根据已知条件，对于参数a进行分类讨论，判定单调性得到结论。

（2）在第一问的基础上，进一步对于不同情况下的单调性分别研究得到最值。

选做题：（参加IB学习的学生必须做，不参加IB学习的学生原则上不要做）

题目：（本题满分值为10分）

【解析】
(1)  ∵f(x)=－ax3+x2+2 (a≠0),∴= -ax2+2x.  

①当a>0时，令>0,即-ax2+2x>0,得00,即-ax2+2x>0,得x>0，或x<.

∴f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函数，在(,0)上是减函数.………………8分

 (2)由（１）得：

①当0<<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数,

∴f（x）max=f（1）=３－.         ……………10分

②当1≤≤2,即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，

∴f(x)max=f=.                  ………12分

③当>2时，即0<<1时，f(x)在（1，2）上是增函数，

∴f（x）max=f（2）=.       ……………14分

综上所述，当0<<1时，f(x)的最大值为３－,

当1≤≤2时，f(x)的最大值为,

当>2时，f(x)的最大值为.   ………………15分