Question

（本小题满分12分） 已知其中是自然对数的底 .

(1)若在处取得极值，求的值；

(2)求的单调区间；

(3)设，存在，使得成立，求 的取值范围.

Answer

(Ⅰ) 。(Ⅱ) 综上所述，当时，的减区间是，

当时，的减区间是，增区间是.  (III) .

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数性质中的运用，求解极值和单调区间，以及证明不等式的总额和运用。

（1）.                              

由已知, 解得.

（2）因为，对于参数a大于零还是小于零，还是等于零分情况讨论得到单调性。

（3）当时,由(Ⅱ)知的最小值是；         

易知在上的最大值是，则转换为不等式组得到结论。

【解析】
(Ⅰ) .                              

由已知, 解得.                            

经检验, 符合题意.                     ………… 3分

(Ⅱ) .

1)                        当时，在上是减函数.

2)当时，.

①                    若，即，

则在上是减函数，在上是增函数；

② 若  ，即，则在上是减函数.   

综上所述，当时，的减区间是，

当时，的减区间是，增区间是.   ……… 7分

(III)当时,由(Ⅱ)知的最小值是；         

易知在上的最大值是；                    

注意到,

故由题设知                            

解得.故的取值范围是.              ……… 12分