Question

（本小题满分12分） 设的极小值为，其导函数的图像开口向下且经过点，.

（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）方程有唯一实数解，求的取值范围.

(Ⅲ)若对都有恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；(2)  ；（3）

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用几何意义得到导数的方程的两个根，然后求解元解析式。

（2）因为方程有唯一解，可以分离参数的思想得到参数的取值范围。

（3）要研究函数在给定区间恒成立问题，只要求解函数的最值即可。

【解析】
（1），且的图象过点     …………2分

∴，由图象可知函数在上单调递减，在 上单调递增，在上单调递减，(不说明单调区间应扣分)

∴，即，解得

∴                …………4分

(2) ,又因为=-8.

由图像知,,即    …………8分

（3）要使对都有成立，只需

由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，且，

                 …………10分

∴.           

故所求的实数m的取值范围为…………12分