Question

（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图，相交于A、B两点，AB是的直径，过A点作的切线交于点E，并与BO₁的延长线交于点P，PB分别与、交于C，D两点.

求证：（1）PA·PD=PE·PC；  （2）AD=AE.

Answer

见解析。

【解析】（I）利用切割线定理可知和,从而可得

(II) 连结、，设与相交于点，由BC为直径可得,

再利用,可得∥∴⊥, ,再利用是⊙的切线

得到,所以，问题到此解决.

（Ⅰ）分别是⊙的割线∴ ①            （2分）

又分别是⊙的切线和割线∴  ②       （4分）

由①，②得                                 （5分）

（Ⅱ）连结、，

设与相交于点

 ∵是⊙的直径，∴ 

 ∴是⊙的切线.      （6分）

由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥, （8分）

又∵是⊙的切线，∴

 又，∴

 ∴                                                    （10分）