Question

(本小题12分)

如图,抛物线的焦点到准线的距离与椭圆的长半轴相等,设椭圆的右顶点为在第一象限的交点为为坐标原点,且的面积为

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点作直线交于两点,射线分别交于两点.

(I)求证:点在以为直径的圆的内部;

(II)记的面积分别为,问是否存在直线,使得?请说明理由.

Answer

(1)

(2) (I)见解析；(II) 不存在直线使得

【解析】(I)由抛物线方程可知椭圆的长半轴长a=2,再由,从而可求出B的坐标，代入椭圆方程可求出b2,从而求出椭圆的方程.

(2)(I) 证明点在以为直径的圆的内部，需证，

因为只需证明即证,然后直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理来解决即可.

解;(1),得椭圆的长半轴

.代入抛物线求得

椭圆方程为

(2)(I)设直线的方程为:,由得

设

又点在以为直径的圆的内部

(II),直线的斜率为

直线的方程为.由得

,

不存在直线使得