Question

(本小题12分)

已知函数

(1)判断函数在上的单调性;

(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer

(1)见解析；(2) 不存在

【解析】(1)先求出，然后再分和三种情况研究其在区间上的单调性.

(2)本小题所给条件曲线在点处的切线与轴垂直实质是研究方程有实数解.然后利用导数研其单调性和最值，画出图像从图像上可分析判断是否有实数解.

解;

①若则,在上单调递增

②若,当时,函数在区间上单调递减,

当时,函数在区间上单调递增

③若,则函数在区间上单调递减.

(2),由(1)易知,当时,在上的最小值:

即时,又,

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解.

而,即方程无实数解,故不存在.