Question

(本题分12分）

如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点A、B, 将直线按向量平移得到直线,为上的动点,为抛物线弧上的动点.

(Ⅰ) 若 ,求抛物线方程.

(Ⅱ)求的最大值.

(Ⅲ)求的最小值.

 

Answer

（1）.  (2) .

(3)当时, 的最小值为.

【解析】此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算

（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p=4p，再由已知条件，得到抛物线的方程；（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x1，y1），B（x2，y2），利用向量坐标运算，求得

的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值.

【解析】
（1）由条件知，则，消去得：①，则，由抛物线定义，

又因为，即，则抛物线方程为.-------------3分

 (2)由(1)知和,设,则到距离:

,因在直线的同侧,所以,

则,即,

由①知

所以,则当时, ,

则.----------------------8分

(3) 设,,

则,

即

由①知,,,，则,即，当时, 的最小值为.

(其它方法酌情给分)-------- ------12分