Question

(本题分12分）    

定义.

（Ⅰ）求曲线与直线垂直的切线方程；

（Ⅱ）若存在实数使曲线在点处的切线斜率为,且,求实数的取值范围.

Answer

（1）. (2) 。

【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数求解函数的最值问题的综合运用。

（1）因为所求曲线的切线与直线垂直，故令

得得到，进而得到切线方程。

（2）函数

令,得

因切点为,故有，构造函数利用导数求解不等式转化为在上有解来解决。

【解析】
（1）函数，

依题意令①， -------------------------2分

因为所求曲线的切线与直线垂直，故令

得②，由①②知应取，得，切点为，

所求切线方程是，即.------------------4分

(2)函数

令,得

因切点为,故有-----------------6分

又,依题意有

所以

即---------------------8分

该不等式在上有解,即在上有解,

转化为在上有解,-------- -------------10分

令,则,在上恒有

所以函数是上的减函数,

其最大值为,所以实数的取值范围是--------------12分