Question

（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）。（II）(III)见解析。

【解析】本试题主要是考查了双曲线的方程和椭圆方程的求解以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。

（1）根据椭圆的性质和双曲线的性质得到参数的值，求解结论。

（2）联立方程组，利用韦达定理和判别式得到证明。

（3）假设存在常数k，满足题意，则可结合韦达定理得到长度关系进而得到结论。

【解析】
（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。