Question

（本小题满分12分）已知函数，其中.

（Ⅰ）若是的极值点，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围 .

Answer

（Ⅰ）时，符合题意.

（Ⅱ）综上，当时，的增区间是，减区间是；

当时，的增区间是，减区间是和；

当时，的减区间是；

当时，的增区间是；减区间是和. 

（Ⅲ）在上的最大值是时，的取值范围是.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。根据导数的符号判定函数的单调性和最值问题。

（1）.   依题意，令，解得 .

（2）对于参数a进行分类讨论得到不同情况下的单调性质的证明

（3）在第二问的基础上，根据单调性得到最值。

（Ⅰ）【解析】
.   依题意，令，解得 .  经检验，时，符合题意.              ……4分   

（Ⅱ）【解析】
① 当时，.

故的单调增区间是；单调减区间是.

② 当时，令，得，或.

当时，与的情况如下：

↘

↗

↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和.

当时，的单调减区间是.                  

当时，，与的情况如下：

↘

↗

↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和.

③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是.  

综上，当时，的增区间是，减区间是；

当时，的增区间是，减区间是和；

当时，的减区间是；

当时，的增区间是；减区间是和.   ……10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意.

当时，在的最大值是，

由，知不合题意. 

当时，在单调递减，

可得在上的最大值是，符合题意.  

所以，在上的最大值是时，的取值范围是. …………12分