Question

(本小题满分10分)已知集合A={2,4,a³-2a²-a+7},B={-4,a+3,a²-2a+2,a³+a²+3a+7},若A∩B={2,5},求实数a的值,并求A∪B.

Answer

a=2,且A∪B={-4,2,4,5,25}.

【解析】主要考查集合的交集、并集运算。解答此题，首先利用A∩B={2,5}，A={2,4,a3-2a2-a+7}得知5∈A，从而由a3-2a2-a+7=5求得a的可能取值，然后进行验证。

解:∵A∩B={2,5},

∴5∈A,A={2,4,5},

由已知可得a3-2a2-a+7=5.

∴a3-2a2-a+2=0.

∴(a2-1)(a-2)=0.∴a=2或a=±1.

(1)当a=2时,B={-4,5,2,25},A∩B={2,5}与题设相符;

(2)当a=1时,B={-4,4,1,12},A∩B={4}与题设矛盾;

(3)当a=-1时,B={-4,2,5,4},A∩B={2,4,5}与题设矛盾.

综上(1)、(2)、(3)知a=2,且A∪B={2,4,5}∪{-4,5,2,25}={-4,2,4,5,25}.