Question

已知圆 C方程为.

（1）若圆C与直线相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；

（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

Answer

（1）m=.（2）x2+y2-x-y=0.

【解析】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2）,然后根据OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0,

所以,然后直线x+2y-4=0与圆方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理代入上式即可得到关于m的方程，求出m的值.

(2) 因为以MN为直径的圆的方程为（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0    

 即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0，然后将（1）中x1+x2,y1+y2的值代入即可.

（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1=4-2y1，x2=4-2y2，则x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2

∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0     ∴16-8（y1+y2）+5y1y2=0        ①

由   得5y2-16y+m+8=0

∴y1+y2=,y1y2=,代入①得，m=.

（2）以MN为直径的圆的方程为

（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0      即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0

∴所求圆的方程为x2+y2-x-y=0.