Question

已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）存在实数，使得过点的直线垂直平分弦AB

【解析】此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，一元二次方程根的判别式与解的关系，一元二次不等式的解法，解题的关键是：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；将直线与圆的方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的个数决定了直线与圆交点的个数．

（1）设圆心M的坐标为（m，0），且m是整数，由圆C与已知直线垂直，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出圆C的方程；

（2）由直线ax-y+5=0，表示出y，代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为

的方程为，即

由于垂直平分弦AB，故圆心必在上，

得到结论。           

【解析】
（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以 ，即．因为为整数，故．

故所求圆的方程为． …………………………………4分

（Ⅲ）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为

的方程为，即

由于垂直平分弦AB，故圆心必在上，

所以，解得。由于，故存在实数

使得过点的直线垂直平分弦AB………………………12分