Question

如图：在多面体中，，,

，。

（1）求证：;

(2)求证：；

（3）求二面角的余弦值。

Answer

（1）见解析(2) 见解析（3）

【解析】本试题主要是考查了线面垂直和线面平行的判定定理的运用，以及二面角大小的求解的综合运用。

(1)yw由于所以，

则又，则是解题的关键

(2) 取的中点，连结

由条件知，，

∴四边形和为平行四边形，

∴，，∴，

∴四边形为平行四边形，∴

然后得到结论。

(2)建立空间直角坐标系，然求解平面的法向量的坐标，结合向量的数量积的性质得到夹角的值。

证明：（Ⅰ）由于所以，

则又，则，

所以又，则

（Ⅱ）取的中点，连结

由条件知，，

∴四边形和为平行四边形，

∴，，∴，

∴四边形为平行四边形，∴

∴平面平面，则平面。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知两两垂直，如图建系，

设，则，，

，

设平面的法向量为，则由，得，取，则故，

而平面的法向量为，则

所以二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为