Question

已知函数　（为实常数）。

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；

（Ⅲ）已知且，求证: .

Answer

（Ⅰ）在时递增；在时递减。

（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数极值和单调性方面的运用以及利用导数来证明不等式的综合问题。

（1）因为函数 （为实常数）。当时，求函数的单调区间，求解导数，然后解不等式得到结论。

（2）因为，然后对于参数a进行分类讨论得到单调性和极值问题的判定。

（3）由（Ⅱ）知，当时，在处取得最大值.

即.

利用放缩法得打结论。

【解析】
(I)当时，，其定义域为；

，

令，并结合定义域知； 令，并结合定义域知；

故在时递增；在时递减。

（II）,

①当时，，在上递减，无极值；

②当时，在上递增，在上递减，故在处取得极大值.要使在区间上无极值，则.

综上所述，的取值范围是.  

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在处取得最大值.

即.

令，则，即 ，