Question

已知函数y=f(x)是定义在区间［-，］上的偶函数，且

x∈［0，］时，

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f(x)的图像上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值.

Answer

（1） （2）6

【解析】本题主要考查了分段函数、函数的最值及其几何意义及利用导数研究函数的极值，属于中档题．

（1）欲求函数f（x）的解析式，只须求出函数f（x）在x∈[- ，0]时的解析式即可，利用函数的偶函数性质即可由y轴右侧的表达式求出在y轴左侧的表达式．最后利用分段函数写出解析式即可．

（2）设A点在第一象限，坐标为A（t，-t2-t+5），利用对称性求出B点坐标，进而求出矩形ABCD面积，最后利用导数求出此面积表达式的最大值即可．

 解（1）当x∈时，-x∈．

∴．又∵f（x）是偶函数，

∴．

∴.

 （2）由题意，不妨设A点在第一象限，

坐标为（t，-t2-t+5），其中t∈

由图象对称性可知B点坐标为．

则S（t）=  =

s′（t）=．由s′（t）=0，得（舍去），．

当0＜t＜1时，s′（t）＞0；t＞1时，s′（t）＜0．

∴S（t）在（0，1]上单调递增，在上单调递减．

∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，

且此极大值也是S（t）在t∈上的最大值．

从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6．