Question

已知曲线C₁：（为参数），曲线C₂：（t为参数）．

（1）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；

（2）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer

（1）C1是圆，C2是直线。C2与C1有两个公共点（2）C1′：，C2′：。有两个公共点，C1与C2公共点个数相同

【解析】本试题主要是考查了参数方程与极坐标方程与普通方程的转化，以及直线与椭圆的 位置关系的运用。

（1）结合已知的极坐标方程和参数方程，消去参数后得到普通方程，然后利用直线与圆的位置关系判定。

（2）拉伸后的参数方程分别为C1′：θ为参数）；

C2′：（t为参数）联立消元得其判别式，

可知有公共点。

【解析】
（1）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为，

圆心C1（0，0），半径r=2．C2的普通方程为x-y-1=0．

因为圆心C1到直线x-y+ 1=0的距离为，

所以C2与C1有两个公共点．

（2）拉伸后的参数方程分别为C1′：θ为参数）；C2′：（t为参数）

化为普通方程为：C1′：，C2′：

联立消元得其判别式，

所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然有两个公共点，和C1与C2公共点个数相同