Question

（本小题满分12分）已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.试求函数f(x)的解析式

Answer

f(x)=x+.

【解析】本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．

根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可求c=0，f（x）= ，利用基本不等式可求最小值，由f（1）＜ ，即2b2-5b+2＜0，可求b=1，a=1，故可求函数的解析式．

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),

即  ∴c=0,

∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，

当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,

由f(1)＜得＜即＜,

∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，

又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.