Question

某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米，现以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

（1）为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置（用坐标表示），并求椭圆的方程。

（2）为了增加水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置，请确定点M的位置，使此三角形区域面积最大。

Answer

（1）椭圆的方程为            4分

（2）当选择在点（，）安装景观灯时，三角形区域面积最大  

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（I）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a=20，2b=16，由椭圆定义知水雾喷射口的位置，并可得椭圆的方程；

（Ⅱ）记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l，则S△ABM= 要使△ABM的面积最大，则只需d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大，设出方程代入椭圆方程即可求解．