Question

定义在R上的函数，其图象是连续不断的，如果存在非零常数（∈R，使得对任意的xR，都有f（x+）=f（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）．

①若函数是倍增系数=-2的倍增函数，则至少有1个零点；

②函数是倍增函数，且倍增系数=1；

③函数是倍增函数，且倍增系数∈（0，1）；

④若函数是倍增函数，则

Answer

①③④

【解析】∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，∴f（x-2）=-2f（x），

当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．

若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，

由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，f（x0）=0，即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；

∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴，故②不正确；

∵是倍增函数，∴，∴，故③正确；

∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），

∴．故④正确．故答案为：①③④．