Question

已知函数．

（I）判断的奇偶性；

（Ⅱ）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；

（Ⅲ）若，证明：方程有两个不同的正数解．

Answer

（I）既不是奇函数也不是偶函数

（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】（1）对参数a进行讨论，利用奇偶函数的定义，即可得出结论；

（2）当时，，然后转化为二次函数轴动区间定的最值问题来研究即可.

（3）利用图像法，把方程根的个数转化为两个函数图像交点的个数来研究.

当，若时，，方程可化为即．

y

令，在同一直角坐标系中作出函数，在时的图像从图像确定函数与的图像在第四象限有两个不同交点,从而证明方程有两个不同的正数解.

【解析】
（I）时，是奇函数；……（1分）

时，既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）

（II）当时，，函数图像的对称轴为直线．（3分）

当，即时，函数在上是增函数，所以；

当，即时，函数在上是减函数，在上是增函数，

所以；……（5分）

当，即时，函数在上是减函数，

所以．……（6分）

综上， ．……（7分）

（III）证法一：

若，则时，，方程可化为，

即．……（8分）

令，，在同一直角坐标系中作出函数 在时的图像…（9分）

因为，，所以，即当时

函数图像上的点在函数图像点的上方．……（11分）

所以函数与的图像在第一象限有两个不同交点．

即方程有两个不同的正数解．…………（12分）

证法二：

若，则时，，方程可化为，

即．…………（8分）

y

令，在同一直角坐标系中作出函数，在时的图像．（9分）

因为，，所以，

即当时，函数图像上的点在函数图像点的上方．…………（11分）

所以函数与的图像在第四象限有两个不同交点．

所以方程有两个不同的正数解．…………（12分）