Question

已知函数（），．

（Ⅰ）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；

（Ⅲ）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在，研究值的个数；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的值有且仅有两个

【解析】(I)当a=1时，根据建立关于b的方程，求出b值.

(II)由（I）得，定义域为，要证，

只须证，然后构造函数， 

利用导数研究其最小值，证明最小值大于零即可.

(III)本小题属于探索性问题，先假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，则满足

，所以,即,从而求出,

然后再讨论是否大于零来确定假设是否成立.

【解析】
（Ⅰ），，

∴，         --------------------------2分

依题意得  ，∴．         --------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，

要证，只须证，

设，           -------------------4分

则，

令，得， ---------------------------6分

列表得

递减

极小

递增

∴时，取极小值也是最小值，且，

∴，∴. --------------------8分

（Ⅲ）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，

∵，∴，

∵，，由得，，

即，∴，--------------9分

∵的定义域为，

当时，，∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；---10分

当时，令 ，∵，，

∴，即， ----------------11分

下面研究满足此等式的值的个数：

（方法一）由得  ，

设函数，，

令得，当时，递增；

当时，递减；

所以，，又时，，

时，，

所以，函数的图象与轴有且仅有两个交点，即符合题意的值有且仅有两个．

综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；

当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，

且符合题意的值有且仅有两个．-------------------------------14分

(方法二)设，则，且，方程化为，

分别画出和的图象，因为时，，

由函数图象性质可得和图象有且只有两个公共点（且均符合），

所以方程有且只有两个解．

综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；

当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，

且符合题意的值有且仅有两个．--------------------------------14分