Question

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f （x）＝x³－x²＋ax．

（Ⅰ）当a＝2时，求f （x）的极小值；

（Ⅱ）若函数g（x）＝x³＋bx²－（2b＋4）x＋ln x （b∈R）的极小值点与f （x）的极小值点相同．求证：g（x）的极大值小于等于．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】(I)当a=2时，求导利用导数求极小值即可.极值点左侧值为负，右侧值为正，则为极小值点.

（II）分别利用导数求出g(x)和f(x)的极小值，根据极小值点相等，得到a,b的等式关系，

从而可,然后根据g（x）极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝,,令,,显然F(a)是单调增函数，从而可知其最大值，再证明F（a）的最大值，问题得证.

【解析】
（Ⅰ） 解: 当a＝2时，f ′（x）＝x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）．

    列表如下：

x

（－，1）

1

（1，2）

2

（2，＋）

f ′（x）

＋

0

－

0

＋

f （x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以，f （x）极小值为f （2）＝．          …………………………………5分

（Ⅱ） 【解析】
f ′（x）＝x2－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）．

g ′（x）＝3x2＋2bx－（2b＋4）＋＝．

令p（x）＝3x2＋（2b＋3）x－1，

（1） 当 1＜a≤2时，

f （x）的极小值点x＝a，则g（x）的极小值点也为x＝a，

所以p(a)＝0，

即3a2＋（2b＋3）a－1＝0，

即b＝，

此时g（x）极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝．

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝．………………………………10分

（2） 当0＜a＜1时，f （x）的极小值点x＝1，则g（x）的极小值点为x＝1，

由于p（x）＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，所以0＜x1＜1，

即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．

此时g（x）的极大值点x＝x1，

有 g（x1）＝x13＋bx12－（2b＋4）x1＋lnx1＜1＋bx12－（2b＋4）x1

＝（x12－2x1）b－4x1＋1   （x12－2x1＜0）

＜－（x12－2x1）－4x1＋1

＝－x12＋x1＋1＝－（x1－）2＋1＋   （0＜x1＜1）≤＜．

综上所述，g（x）的极大值小于等于．    ……………………14分