Question

在数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=  (n∈N*).

(Ⅰ)求a_2,  a_3,   a_4;

(Ⅱ)猜想a_n，并用数学归纳法证明；

(Ⅲ)若数列b_n= ，求数列{b_n}的前n项和s_n。

Answer

（Ⅰ）∴a2=  = ,a3 =  = ,a4 ==.(Ⅱ)略

（Ⅲ）sn=b1+b2+…+bn=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=

【解析】本试题主要是考查了运用递推关系求解数列的前几项，然后根据前几项的特点分析得到数列的通项公式，进而利用数列的归纳猜想思想，和数学归纳法的得到证明，并对于新数列求解和的问题。

（1）首先由a1=1,an+1=,，对n赋值依次得到第二项和第三项以及第四项。

（2）归纳猜想其通项公式，并运用数学归纳法加以证明，

（3）由（Ⅱ）知：bn===2[-]，然后裂项求和得到结论。