(Ⅰ),.(Ⅱ)。
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。:函数在某点存在极值的性质,函数恒成立问题题,而函数①f(x)<c2在区间[a,b]上恒成立与②存在x∈[a,b],使得f(x)<c2是不同的问题.①⇔f(x)max<c2,②⇔f(x)min<c2,在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题.在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用.
(1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可.
(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立⇔f(x)max<c2在区间[0,3]上成立,根据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求c的取值范围.
【解析】
(Ⅰ),由,.解得,.
(Ⅱ)在[0,3]上恒成立即,
由(Ⅰ)可知,,.
当时,;当时,;当时,.
即在0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增;∴当时,取得极大值,又.故当时,的最大值为.
于是有:,解得 或,因此的取值范围为。