Question

（12分）已知函数.

(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；

(Ⅱ)求的单调区间；

（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得 ，求的取值范围.

Answer

 (Ⅰ)曲线在处切线的斜率为. 

(Ⅱ)函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （Ⅲ）.       

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用导数的几何意义求解切线方程关键是切点坐标和该点的导数值。

（2）求解定义域和导数，利用导数的正负与函数单调性的关系得到结论。

（3）由已知，转化为.

由(Ⅱ)知，当a0时，f(x)在x>0上单调递增，值域为R，故不符合题意. 

当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，

故f(x)的极大值即为最大值，进而得到。

解(Ⅰ)由已知，

.

曲线在处切线的斜率为. 

(Ⅱ).   

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为. 

②当时，由，得.

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅲ）由已知，转化为.                    

由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在，故不符合题意.)     

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，  

所以，

解得.