Question

(本题满分12分)

已知数列的前项和为，（）．

（Ⅰ）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和；

（Ⅲ）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）见解析，．

（Ⅱ）．

（Ⅲ）不存在满足条件的三项．

【解析】本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和数列的求和问题．应熟练掌握一些常用的数列的求和方法如公式法，错位相减法，叠加法等．

（1）把Sn和Sn+1相减整理求得an+1=2an+3，整理出3+an+1=2（3+an），判断出数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，求得3+an，则an的表达式可得．

（2）把（I）中的an代入bn，求得其通项公式，进而利用错位相减法求得数列的前n项的和．

（3）设存在满足题意，那么等式两边的奇数和偶数来分析不存在。

解析：（Ⅰ）因为，所以，

则，所以，，

所以数列是等比数列，

，，

所以．

（Ⅱ），

，

令，①

，②

①－②得，，

，

所以．

（Ⅲ）设存在，且，使得成等差数列，

则，

即，

即，，因为为偶数，为奇数，

所以不成立，故不存在满足条件的三项．