Question

（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC. AB=2EF. 若Ｍ是线段AD的中点。求证：GM∥平面ABFE 

 

Answer

见解析。

【解析】本题考查线面平行的判定定理。

根据所给的一系列平行，得到三角形相似，根据平行四边形的判定和性质，得到线与线平行，根据线与面平行的判定定理，得到线面平行．

证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，，

所以∽

由于AB=2EF，因此，BC=2FG，

连接AF，由于FG//BC，----------6分

在中，M是线段AD的中点，

则AM//BC，且因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又平面ABFE，平面ABFE，

所以GM//平面AB。---------------12分

证法二：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，，

所以∽由于AB=2EF，

因此，BC=2FC，取BC的中点N，

连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN//FB，---------6分

在中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN//AB，

因为所以平面GMN//平面ABFE。又平面GMN，

所以GM//平面ABFE。-----------------------------------------12分