Question

 （本小题满分12分）如图，在中，是上的高，沿把折起，使 。

（Ⅰ）证明：平面ADB  ⊥平面BDC；

（Ⅱ）设Ｅ为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值。

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）＜，＞=．

【解析】此题主要考查面面垂直和异面直线夹角公式的求法，第二问解题的关键是作出辅助线，此题是一道中档题，也是高考必考题；（1）已知在△ABC中，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°，可得AD⊥DC，AD⊥DB，根据面面垂直的判定定理进行求解；

（2）作辅助线，取DC中点F，连接EF，则EF∥BD，可得∠AEF为异面直线AE与BD所成的角，再根据余弦定理和向量公式进行求解；

解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，

∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD 平面平面BDC．平面ABD平面BDC。----4分

（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设=1，以D为坐标原点，以所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，，0），

=，=（1，0,0,），

与夹角的余弦值为

＜，＞=

．--------12分