Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

 

Answer

(1)证明：见解析；(2)点A到平面PBC的距离等于．

【解析】本题考查线面平行，线面垂直，线线垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定方法，利用等体积转化求点面距离

（1）利用线面垂直证明线线垂直，即证BC⊥平面PCD；

（2）利用等体积转化求点A到平面PBC的距离．

(1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC．

由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC 平面PCD，

∴ BC⊥平面PCD．∵ PC 平面PCD，

故PC⊥BC．-------------------4分

(2)【解析】
(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF， 则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD．

∵ PD＝DC，PF＝FC，∴ DF⊥PC．

又 ∴ 平面PBC∩平面PCD＝PC，∴ DF⊥平面PBC于F．

易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．--12分

(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．

∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°．

由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．

由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积

V＝S△ABC·PD＝．∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC．

又 ∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．

由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．

∵ VA - PBC＝VP - ABC，∴ S△PBC·h＝V＝，

得h＝．

故点A到平面PBC的距离等于．----------12分