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(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.

(1)求证:PC⊥BC;

(2)求点A到平面PBC的距离.

6ec8aac122bd4f6e 

 

(1)证明:见解析;(2)点A到平面PBC的距离等于. 【解析】本题考查线面平行,线面垂直,线线垂直,考查点到面的距离,解题的关键是掌握线面平行,线面垂直的判定方法,利用等体积转化求点面距离 (1)利用线面垂直证明线线垂直,即证BC⊥平面PCD; (2)利用等体积转化求点A到平面PBC的距离. (1)证明:∵ PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴ PD⊥BC. 由∠BCD=90°,得CD⊥BC.又PD∩DC=D,PD,DC 平面PCD, ∴ BC⊥平面PCD.∵ PC 平面PCD, 故PC⊥BC.-------------------4分 (2)【解析】 (方法一)分别取AB,PC的中点E,F,连DE,DF, 则易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D,E到平面PBC的距离相等. 又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍,由(1)知,BC⊥平面PCD, ∴平面PBC⊥平面PCD. ∵ PD=DC,PF=FC,∴ DF⊥PC. 又 ∴ 平面PBC∩平面PCD=PC,∴ DF⊥平面PBC于F. 易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于.--12分 (方法二):连接AC,设点A到平面PBC的距离为h. ∵ AB∥DC,∠BCD=90°,∴ ∠ABC=90°. 由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1. 由PD⊥平面ABCD,及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积 V=S△ABC·PD=.∵ PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,∴ PD⊥DC. 又 ∴ PD=DC=1,∴ PC==. 由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=. ∵ VA - PBC=VP - ABC,∴ S△PBC·h=V=, 得h=. 故点A到平面PBC的距离等于.----------12分
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6ec8aac122bd4f6e

 

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6ec8aac122bd4f6e 

 

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6ec8aac122bd4f6e

 

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