Question

(10分) 已知数列{a_n}的前n项和S_n＝10n－n²，(n∈N^*)．

(1)求a₁和a_n；

(2)记b_n＝|a_n|，求数列{b_n}的前n项和．

Answer

(1) an＝－2n＋11(n∈N*)．(2) Tn＝

【解析】本题考查数列前n项和与通项公式的应用，考查转化思想与计算能力

由Sn=10n-n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（n∈N*），可知{an}为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，然后求解Tn．

(1)∵Sn＝10n－n2，∴a1＝S1＝10－1＝9.

∵Sn＝10n－n2，当n≥2，n∈N*时，

Sn－1＝10(n－1)－(n－1)2＝10n－n2＋2n－11，

∴an＝Sn－Sn－1＝(10n－n2)－(10n－n2＋2n－11)

＝－2n＋11.

又n＝1时，a1＝9＝－2×1＋11，符合上式．

则数列{an}的通项公式为an＝－2n＋11(n∈N*)．

(2)∵an＝－2n＋11，∴bn＝|an|＝

设数列{bn}的前n项和为Tn，

n≤5时，Tn＝＝10n－n2；

n>5时Tn＝T5＋＝25＋＝25＋(n－5)2＝n2－10n＋50，

∴数列{bn}的前n项和Tn＝