Question

 设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n.

已知a₁＝1，d＝2，

①求当n∈N^*时，的最小值；

②当n∈N^*时，求证：＋＋…＋<；

Answer

(1) 的最小值是16.

②证明：见解析。

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解以及数列求和的综合运用。

（1）根据已知条件，先得到通项公式，然后根据等差数列的前n项和公式得到最值。

（2）并结合第一问中的结论，得通项公式可知裂项，然后再求解和。

(1)①∵a1＝1，d＝2，

∴Sn＝na1＋＝n2，

＝n＋≥2＝16，

当且仅当n＝，即n＝8时，上式取等号，

故的最小值是16.

②证明：由①知Sn＝n2，

当n∈N*时，，

＋＋…＋

＝＋＋…＋