Question

.(12分)已知函数在R上为奇函数,，.

(I)求实数的值;

(II)指出函数的单调性.（不需要证明）

(III)设对任意,都有;是否存在的值，使最小值为；

Answer

(I) ；(II)减函数；(III) 。

【解析】(I)因为f(x)为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0恒成立，据此可求出m的值.

（II）由（I）可求出,讨论a,根据复合函数的单调性可判断f(x)的单调性.

（III）解本小题的关键是因为对任意都有，

所以对任意都有，

所以对任意都有，

所以对任意都有，从而转化为求的最小值，再解关于t的不等式即可.

【解析】
(I)

即

…………………………………3分

又…………………………………1分

(II)由(I)知

又在R上为减函数……………3分

(III)又因为对任意都有

所以对任意都有

所以对任意都有

所以对任意都有

解得……………………………1分

令,

解得……………………………2分

此时

解得

………………………………………2分