Question

、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。

求证：（1）PA∥平面BDE

（2）平面PAC平面BDE

Answer

 见解析。

【解析】本题主要考查中位线定理、线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理．考查立体几何的基本定理和空间想象能力．

（1）先根据中位线定理得到OE∥AP，进而再由线面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE．

（2）先根据线面垂直的性质定理得到PO⊥BD，结合AC⊥BD根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，从而根据面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE，得证．

证明（１）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，

又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE

（2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O

∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE。