Question

已知定义在上的函数，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为，函数图象所有对称中心都在图象的对称轴上.

（1）求的表达式；

（2）若，求的值；

（3）设，，，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）由已知中已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，我们易计算出A值，及最小正周期，进而求出ω值，再由函数图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上，求出φ值，即可得到f（x）的表达式；

（2）由，结合（1）中所求的函数解析式，可得，

进而求出的值，然后根据两角差的余弦公式，即可求出答案．

（3）由 ,恒成立，可以转化为函数恒成立问题，构造函数，求出其最值，即可得到答案．

【解析】
(1)依题意可知：，

与f(x)相差，即相差，

所以或

（舍），

故.                  ……………………4分

（2）因为，即，

因为，又，y=cosx在单调递增，

所以，所以，

于是

  ………9分

（3）因为，，

，

于是，得对于恒成立，

因为，故.         ………………14分