Question

已知抛物线

（1）若求该抛物线与轴公共点的坐标；

（2）若且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（3）若且时，时，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，说明理由.

Answer

（1）和 （2）当 或 时，抛物线在时与轴有且只有一个公共点. (3)当时，抛物线与轴有两个公共点.

【解析】本题考查了求二次函数的解析式等相关的知识，同时还渗透了分类讨论的数学思想，是一道不错的二次函数综合题．

（1）将a、b、c的值代入抛物线后求得解析式，令y=0求出x的值就是交点坐标的横坐标；

（2）根据其在此范围内有一个交点，此时将两个值代入，分别大于零和小于零，进而求出相应的取值范围．

（3）因为由题意可得，当时，即当时，

结合可得，

因为   ，所以  分析得到a,b的符号，然后结合判别式判定交点问题。

【解析】
（1）当抛物线为

令解得，

所以，抛物线与轴的公共点的坐标为和  ……2分

（2）当时，抛物线为.

令，解之，得.

①若抛物线与轴只有一个公共点，由题意，

可得解之，得

②若抛物线与轴有两个公共点，由题意，可得

或

所以，或故.

综上所述，当 或 时，

抛物线在时与轴有且只有一个公共点.                  ……..8分

(3)由题意可得，当时，即当时，

结合可得，

因为   ，所以 

又     ，    所以              ……10分

令  即  所以，此方程的判别式为 

因为   所以  所以 

因为  所以  故 

所以 抛物线与轴有且只有两个不同的交点.                  ……….13分

因为，所以抛物线的顶点的纵坐标小于零。

因为    所以 

因为  抛物线的对称轴为所以

又当时，时，所以当时，

抛物线与轴有两个公共点.                          ……16分